2012년 5월 6일 일요일

내가 수학점수를 60점 -> 100점으로 올린 방법

또 방명록에 답글 달다가 이런 방법은 좀 같이 공유하면 좋겠단 생각이 들어 블로그 글로 씁니다. 수학공부 방법론에 대한 건데요...

출처: "내가 이래서 수학을 싫어해!!!" http://kr.fun.yahoo.com/NBBS/nbbs_view.html?bi=1201&bt=2&mi=648632&page=9870


수학점수 하나로 대학간 포프
아시는 분들은 아시겠지만 저 연세대 법학과 96학번입니다. 저 때는 본고사 시절이었지요. 본고사가 뭐냐하면... 수능끝나고 지원한 대학에 가서 시험을 봐야하는 제도였습니다. 본고사 문제의 난이도는 수능보다 한 백만배 어렵죠 -_-. 현재는 보통 논술만 대학에서 보는거 같지만 저희때는 꽤 많은 과목을 시험을 봤습니다. 제가 연대갈 때는 논술/영어/수학을 본고사로 봤었죠. 물론 본고사 점수 하나만으로 대학입학이 좌우되는건 아니었습니다. 학교내신과 수능점수 그리고 본고사 점수를 비율적으로 반영했었죠. 제 기억으론 연세대 비율이

학교 내신 : 수능 : 본고사 = 40: 30: 30

이었던걸로 기억합니다. (40:20:40 또는 40:40:20 이었는지도... 기억이 안나요! 16년 전이야! -_-)

물론 본고사를 보기 싫으면 특차로 들어가는 법도 있었습니다. 원래 제가 수능 모의고사 점수가 매우 좋았었기에(전국 0.08% 미만이었던 걸로 기억... 0.8%인가? 이것도 격이 잘... ) 그냥 특차로 연대를 들어갈 생각이었고 안정빵이었는데.... 실제 수능을 개판쳐서.. (200점 만점 시대에 20점 이상 하락.. -_-) 본고사까지 쳐서 갔어야 했죠.

그 당시 연대 본고사 점수가 이랬어요.

  • 논술: 100점
  • 영어: 50점
  • 수학: 50점
본고사 결과를 연대에서 발표하진 않았지만 시험을 보고 나와서 애들하고 대충 맞춰보니 제점수가 다음과 같더라구요.
  • 논술: 객관식이 아니라 판단하기 어려움. 그냥 다충 남들 쓰는만큼 쓴 듯
  • 영어: 친구들 평균 35점 맞을 때 혼자 19점 맞았음. (제가 영어를 참 못했거든요 -_-)
  • 수학: 친구들 평균 15점 맞을 때 혼자 47점 맞았음.

그리고 합격했죠.. 한마디로.... 영어에서 남들보다 16점 까먹었지면 수학에서 32점 추가해서 최종 +16로 합격했단 거죠 -_-;

그럼 사람들은 '넌 원래부터 수학을 잘했구나~' 라고 생각할 수 있지만.... 전 사실 수학 잘하게 된건 고2/고3이 전부였다죠 -_-;

한 눈에 보는 제 수학점수 역사
일단 학년에 따라 제 수학점수가 어땠는지부터... (참고로 8학군 점수이니... 결코 쉬운 문제는 아니었다고 생각합니다)

  • 중2: ??점. 기억 안남. 중3때 보단 높았음. 스케이트보드 타다가 머리가 깨져서 격이 안나는 걸수도 있음 -_-;
  • 중3: 60점대. 삼각법에서 개판치면서 엄청 떨어졌음.
  • 고1: 60~70점대로 기억. 일반수학은 여전히 삼각법이 큰 비중을 차지해서...
  • 고2: 96점 아니면 100점. (실수로 한문제 틀리냐 마냐 차이).  수1시절임
  • 고3 1학기: 96~100점. 학교에서 수1을 반복했던 걸로 기억. 이 때부터 학교에서 수학 1인자로 이름을 날렸죠. 전교 1~2등 하는 애들도 수학은 저에게 물어봤어요. (전체 성적에 비해 수학만 잘했거든요. 고3때 내신이 전교에서 상위 10프로.. -_-)
  • 고3 2학기: 96~100점. 학교에서 일반수학을 반복했던 걸로 기억. 이 때가 고1때 개판치던 일반수학을 드디어 마스터 한 때죠. 

저희는 본고사 시절이었던 지라 수능모의고사외에도 종로학원에서 주최하는 본고사 전국 모의고사도 있었어요. 전교생이 아니라 상위 몇프로 학생들만 봤을 거에요. 어차피 중상위권 대학에서만 본고사를 봤었거든요. 고3 1학기때 2번, 2학기때 2번해서 총 4번 본 걸로 기억하는데... 이것도 점수가 대충 다음과 같았죠. (난이도는 거의 딴나라임... 대학 본고사라 -_-)

  • 고3 1회: 7점인가...? (100점 만점임 -_- ㅋㅋㅋ)
  • 고3 2회: 70점 이상?  (점수는 낮아 보이지만 이정도 점수면 상위 1프로였던 걸로 기억)
  • 고3 3~4회: 80점 이상?

고3 담임이 제 고2 담임이기도 했는데 이미 제가 수학을 엄청 잘하는걸 아니 종로학원 본고사 모의시험에 대한 기대가 크셨거든요. 근데 1회에 7점 받아 왕실망시켜주고 2회에는 상위 1프로 받자 제가 반항한다고 생각하셨다죠 -_-;;; 근데 사실 문제는 모의고사 1회차는 전부 일반수학에 관한 거였기에 제가 잘할수가 없었어요. (고1때 점수를 보세요 ㅎㅎㅎ). 다행히 2회는 수1 위주였기에 잘봤고, 3~4회는 수1학고 일반수학 전부다 포함이었지만 그때는 이미 일반수학도 마스터 했기에 점수는 여전히 높았죠.

나에게 맞는 수학공부법을 찾는 것이 젤 힘들었다
뭐, 제가 하고 싶은 말은 전 수학을 2년만에(고2, 고3) 마스터 했다는거죠. 물론 그전에도 수학점수를 높히기 위해 나름 공부는 했어요. 근데 고2때까지는 아무리 별짓을 해도 안올랐죠. 제가 맞는 공부법을 찾지 못해서 였다고 생각해요.

난 암기력이 딸리거등~
사실 전 중학교 졸업할 때까지 전혀 사교육을 받은 적이 없습니다. (물론 초등학교 4학년때 친구들이 구몬수학 하는게 너무 부러워서 졸라서 잠시 했었지만 역시 금방 실증 느껴서 결국엔 관둔... ㅎㅎ 별 도움도 안되었었어요. .ㅎㅎ)

생각해보니 대학갈떄까지 독서실 같은데 다닌적도 없죠. 그냥 제 방에 틀어박혀서 라디오 틀어두고 공부하는게 전부였습니다. 야자도 안했어요. -_- 

보통 학교공부에만 의존했는데 갑자기 중3때 점수가 많이 떨어진 이유가 삼각법 때문이었죠. 코사인이나 사인이니..... 너무나 공식암기 위주로 학교에서 가르쳐서 제 머리가 따라갈 방법이 없었죠. 나중에 깨달은 거지만 전 암기위주의 과목은 점수가 언제나 비교적으로 낮더라구요? 특히 역사는 쥐약 -_-;

중3을 졸업하면서 배치고사라는 놈을 보면 대략 고등학교 입학까지 몇개월 남는 시간이 있습니다. 그 동안에 난생 처음 사교육 다운(?) 사교육을 받아봤죠. 하지만 원래 돈 많이 쓰는걸 좋아하는 인간이 아니라 단과학원이란 놈을 다닙니다. 고등학교 국영수를 미리 좀 배워두는게 좋다는 친척들의 말을 들은 거지요. 단과학원이란 한 4~10명 모아놓고 가르치는 소수정예 학원이 아닙니다. 강의실에 애들 수백명 채워넣고 강사가 칠판에 써가며 강의하는 수준이죠. 사실 생각해보면 학교보다도 별로인 환경인 거 같은데.... 가격이 매우 쌌었습니다. 몇만원 수준 -_-.... 하지만 이 때 쉬는 시간마다 책을 봐가면서 C/C++을 땠으니.. 별 불만은........ -_-;

결과는? 조금 나아졌습니다. 아주 조오금.... 전교 30프로로 올라갔습니다. 근데  수학점수는 오르지 않았습니다. 버럭 -_-; 여전히 문제는 자잘한 공식들을 암기하려고 노력해서 였던 것 같습니다. 제가 암기력이 정말 안좋아서 그 모든 공식들을 절대 암기 못하거든요.

하지만 난 추론 능력이 좋다
고2 첫 면담때, 담임선생님이 이러시더군요.

"응? 어디가겠다고? 연세대..? 허허허... 농담이지?... 뭐 아니라고?  그...그래... -_-;;; 넌 현재 내신이 상위 30프로정도가 되니 여기에 수학/영어 점수를 끌어올리면 가능하겠다. 허...허...허.. -_-;;;"

그래서 수학을 올릴 생각으로 단과학원 보다 조금 비싼 학원을 처음 다녀봤습니다. 한 십몇만원 했던거 같아요. 근데 웃긴게 사실 이 선생님에게 배운 게 딱히 있는게 아니고... 이 학원다니면서 저 나름대로의 공부방법론을 찾은게 컸죠. 그리고 그 방법론이 정립된 이후론 이 선생이 앞에 서서 칠판에 뭔 설명을 하던 말던 전 신경안쓰고 그냥 제 방법으로 혼자 문제를 풀고 있었습니다. 그래서 결국 이 학원을 그만 뒀죠.

그래서 내 공부법은?
그래서 제 공부법은 어땠냐고요? 암기력이 약하다 보니 그보다는 추론능력을 최대한 살릴 수 있는 방법을 택했습니다. 즉,

"아주 간단한 기초공식만 외우고 나머지는 필요할때 다 추론해낸다."

라는 개념이었죠. 그리고  그 기초공식이 몸에 베고, 언제라도 그로부터 다른 공식들을 추론해낼 수 있다는 확신이 들때까지 혹독한(?) 트레이닝을 했죠. 이러면 뭔가 졸라 어려운 거 같은데 사실 정석만 팠습니다. -_-;;;; 수1과 일반수학 정석에 있는 모든 문제를 하나도 안틀리고 풀수 있을 정도로 팠습니다.

추억이 새록새록?... 출처: http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=jangbaeksan&logNo=50101281482&viewDate=&currentPage=1&listtype=0


막연하게 "정석만 파라!"라고 하면 정석을 처음부터 끝까지 반복해서 풀거나 아니면 틀릴때마다 해답을 보고 이해한 뒤 1분만에 문제 다시 풀수 있다고 만족하고 관두시는 분들이 많더라구요. 첫번째 방법은 시간 낭비고, 두번째 방법은 방금전에 본 해답 또는 공식을 단기적으로만 암기한 거라서... 나중에 시간이 지나면 다 까먹을수 있단 단점이 있죠.


난 한놈만 팬다
그래서 제가 택한 방법은 기본적으로 첫번째 방법을 기초로 정석을 챕터별로 반복해서 풀되, 내가 못푸는 문제들만 집중적으로 반복해서 푸는 거였죠.

이 아저씨가 '난 한놈만 팬다'라고 했던듯 한데.... 기억이....

이 방법을 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같습니다. 참고로 전 연필(또는 샤프)만 썼습니다. 제 방법은 지우개로 지울 일이 많거든요.

1. 해당 챕터에 있는 문제들을 처음부터 끝까지 다 푼다.
여기서 주의할 점은 본문에 있는 공식이니 설명을 읽지 않는 겁니다. 본문 중간에 들어가 있는 문제들과 챕터 젤 뒤에 있는 문제들을 다 이렇게 풉니다.

2. 답을 맞추며 맞춘 문제는 지워버린다. 틀린 문제 옆에는 체크마크를 넣는다.
여기서 주의할 점은 해답에 나온 설명을 아직 보지 마시라는 겁니다. 그리고 대충 때려서 맞춘 문제들도 틀린 문제로 간주해야 합니다.

여기서 맞춘 문제들은 따로 공부하지 않아도 언제라도 맞출수 있는 문제들이니 그냥 문제 자체에 크게 X자를 그어버려도 됩니다.

여기서 틀린 문제들은 문제 번호 옆에 체크 마크를 하나 추가하고, 전에 풀면서 낙서해놓은 것들을 모두 지우개로 지웁니다. (나중에 다시 풀 때, '아. 이게 전에 틀린 답이없으니 다른 답을 골라야겠군?' 이란 생각이 들지 않게 하기 위해서입니다. 처음부터 정석 책위에 낙서를 안하는것도 좋은 방법입니다만.. 전 게을러서 그냥 낙서하고 지웠고.. 낙서때문에 종이에 자국이 남으면 모든 답에 동그라미를 쳐버려서 전에 선택한 답이 뭔지 추측할 수 없게 만들었습니다 -_-)

이 단계의 목적은 이미 잘 풀수 있는 문제들을 찾아내는 겁니다. 이 과정을 거치면 딱히 따로 공부하지 않아도 이미 풀수 있는 문제들을 모두 추려냈습니다. 이 문제들은 몇년이 지난 뒤에도 이미 알고있는 공식을 사용해서 또는 그 공식에서 따른 공식을 추론해내서라도 풀수 있는 것들이니 절대 신경 안쓰셔도 됩니다.

3. 이제 본문에 있는 설명들을 읽는다
드디어 공부다운(?) 공부를 할 때입니다. 본문에 있는 설명들을 읽으며 "이해"를 하려고 하세요. 공식 나오는대로 대충 암기해봐야 몇 달 지나면 다 까먹습니다. 새로운 공식/이론이 나올 때마다 이미 알고 있는 다른 공식/이론에서 추론해낼수 있는지 고민해 보세요. 추론이 가능하다면 이 따위 공식 따로 안외워도 되지요.

단 추론이 불가능한 거라면 가장 외우기 쉬운 방법으로 외우셔야합니다. 일례로 전 삼각법이 언제나 쥐약이었는데 결국엔 그냥 코사인 그래프가 어떻게 생겼는지 기억하는 걸로 해결했습니다. 사인과 코사인은 사실 그래프 모양은 똑같거든요. 차이라면 각도=0에서 결과가 1 이냐 0이냐 차이... 그거따라 좌우로 옮겨주면 끝... 그리고 왠만한 공식들은 그래프로부터 추론이 가능해요..... -_-

이렇게 해버릇하면 정작 암기가 필요한 공식이 꽤 줄어듭니다. 머리가 행복해지죠. -_-;;;

4. 다시 해당 챕터에 있는 문제들을 푼다.
단, 체크마크 해놨던 문제들만 풉니다.

5. 답을 보고 틀린 문제들에 체크마크를 하나 더 추가한다. 맞춘 문제들 옆에 체크마크는 지우지 않는다.
여기서 맞춘 문제들은 본문을 읽으며 이해한 내용들을 잘 적용해서 맞춘 문제입니다. 하지만 단기 기억력에 의존하고 있을 가능성도 있지요. 따라서 체크마크를 지우진 않습니다. 그냥 맞췄다는데에 뿌듯해하세요.

하지만 틀린 문제들은 본문에서 배운 내용을 아직도 제대로 적용하지 못했단 증거니 체크나크를 하나 더 추가합니다. 그리고 이제 해답에 나온 설명을 읽으며 이해를 합니다. 그게 이해되었다면 다시 한 번 문제를 풀어보면서 해답에 나온 것과 동일한 답을 계산해낼수 있는지 해보세요. 몇번 반복해서 될때까지 합니다. 하지만 체크마크를 지우지는 마세요.

6. 이제 며칠 쉽니다.
쉬는 이유는 단기적으로 암기한 내용들이 저절로 사라질 기회를 주는 겁니다. 단기기억력에 의존해서 당장 풀었다고 신나하고 까먹는 것보다는 차라리 1주뒤에도 풀수 있다고 확인하고 지워버리는 게 좋죠.

전 암기력이 보통 48시간을 넘지 않는 놈이라 2일정도 쉬었는데 원래부터 쓸모없이(?) 암기력이 좋으시다면 더 쉬셔도 될 거 같습니다. 그 쉬는 기간이 길어진다면 그동안 다음 챕터를 시작하세요.

7. 체크마크 되어있는 문제들을 다시 풉니다.
체크해놓은 문제들을 한 번씩 풀면서 답을 맞춘 놈은 체크마크를 하나씩 지워나갑니다. 틀리면 체크를 하나씩 추가합니다. 해답지에 나온 설명을 보면서 다시 이해하려고 노력도 하세요.

체크마크가 남아있는 문제가 없을 때까지 이 과정을 2일(또는 본인에게 맞는 주기)마다 한 번씩 반복하세요. 더이상 체크마크가 달린 문제가 남아있지 않다면 그 챕터를 마스터 했다고 생각하셔도 됩니다. 하지만 최종점검도 해야겠죠?

8. 챕터 젤 뒤에 있는 문제들을 다시 한 번씩 다 풀어본다.
이제 챕터 젤 뒤에 있는 문제(본문에 있는 건 무시하셔도 됩니다)들을 전부다 풀어봅니다. 단, 처음에 X로 지워버렸던 문제들은 푸시지 마세요. 여기서 다 맞추시면 진짜 마스터 한거고. .틀린거 있으면 7번 과정을 다시 반복해주시면 됩니다.


글 다 쓰고 보니
글 다 쓰고보니 사실 이런 방법을 통해서 얻은 게 문제에 적용해야하는 이론/공식을 재빨리 찾아낼 수 있는 자세가 몸에 벤거 같네요? 암기가 아니라 몸에 벤... 전 이걸 그냥 장기기억력 + 추론능력이라 생각하고 있습니다.

이게 저에게 맞는 방법이란걸 확신하게 또다른 계기가 BCIT다닐 때였는데. 95년 이후에는 미분을 한번도 써볼일이 없었거든요? 근데 2005년도에 BCIT 다니면서 다시 한번 쓸일이 생겼죠. 미분 문제를 다시 처음보니 푸는데 몇 분 걸렸지만(오랫동안 안쓴 놈이니 생각해는데 시간이 걸리더군요) 첫문제만 그랬지 두번째 문제부터는 거의 즉각적으로 풀리더라구요.

뭐 이정도면 꽤나 황당했던 제 수학공부법 소개가 끝난 것 같습니다. 사실 꽤 오래전에 했던 방법이라 자세한 디테일은 조금씩 틀릴 수도 있지만 기본적인 방법은 여전히 저에게 맞는 방법이라고 확신합니다. 그덕에 BCIT에서 대학수학 들을때도 거의 100점으로 졸업했습니다

(앗.. 또 자랑질 해버렸다...... 또 '자뻑'으로 태그 달아야지.... -_-;;;;)

따른건 자뻑이지만 꽃미남만은 진실인 게임개발자 포프였습니다.



댓글 54개:

  1. 잘 보았습니다.
    읽으면서 저도 예전에 공통 수학을 공부했던 기억이... 새록새록... ㅎㅎ (예체능이라... ㅋㅋ)
    공부 방법이 정말 체계적으로 보입니다.
    다시금 고등학교때로 돌아가 이방법으로 공부를 한번 해보고 싶은 충동까지........ ㅎㅎㅎ

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    1. 자. 지금도 늦지 않으셨어요... 근데 이렇게 해봐야 더이상 이득 볼일이 적죠... 아마... 고등학생때나 ㅎㅎ

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  2. 아.. -ㅁ-;;
    중학교때 삼각함수에서 좌절하고, 수학을 내팽겨쳐버렸죠.
    그래서 지금 기초미적분에서 헥헥 거리고 있습니다. (대딩 4학년)
    ㅠㅠ 세상에 공짜가 없다능.. 큭
    부럽습니다.. ㅋ

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    1. 지금도 늦지 않으셨습니다... ^_^

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  3. (댓글을 달기위해 블로그에 처음 가입했습니다.)
    한국에서 모 게임 서버개발팀장으로 있습니다
    저랑 성장배경이 비슷한 분을 보니 너무 반갑네요
    꽃미남만은 진실인 게임개발자 이글이었습니다 ㅋㅋ

    그런데 여기는 댓글 수정이 안되네요 오타 수정을 하려 했는데 -ㅁ-

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    1. 반갑습니다... 만...... 세상에 꽃미남이 둘이면 안되는데............

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  4. 답글
    1. 잘 생겨서 미움 받는 일은 흔히 있는 일이라.. 그러려니 할께요.... -_-

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  5. 맨날 이거저거 공부하다.. 수학은 공부해도 어느정도 수준에서 안 올라가서 시험 1-2주 전에 포기하고 다른 과목에 올인했던 기억이...ㅜㅜ 포프님 공부법 왠지 저한테 맞을 것 같네요 ㅎㅎ 저도 암기보다는 추론쪽이라

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    1. 넵 수학은 사실 암기보단 추론이 맞는 과목이죠... 선생들이 잘못가르쳐서 문제지 -_-

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  6. 저도 정규교육 받을 때는 하고 싶은 공부만 하다보니 점수가 영...
    딱 한 번 인생에서 최고의 집중력으로 빡쎄게 공부를 한 적이 있는데, 대입검정고시 볼 때였죠. 말씀하신 것과 비슷한 방법을 사용했는데,
    1. 일단 모의/기출 문제 1회를 쫙 푼다.
    2. 틀린 답을 오답노트에 모은다. (지문과 답안까지 전부)
    3. 모르는 단어, 방식, 문제 패턴을 별도 공책에 모은다.
    4. 위키를 뒤져가며 주요 정보를 또 모은다. 꼭 답을 풀기 위한 내용이 아닌, 교육 수준(?)을 벗어나는 내용까지 포함.
    5. 다시 기출 문제를 푼다. 그리고 다 맞을 때까지 2~4를 반복한다.

    대충 위와 같은 방식으로 공부를 했던 기억이 납니다. 시간 소비량이 좀 큰 편이라 오버스터디 하는 느낌이긴 하지만, 효과는 최고였었죠. ㅎㅎㅎ

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    1. 이건 제가 한것 보다 더 혹독한데요? 역시 멋지십니다 ^_^

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  7. 고삼인 저에겐 도움이될지도 모르겠네요!ㅎㅎ
    수능에서 수학시험을 잘보는것도 게임개발자가 되는과정의 일부라고 생각하면서 포프님의 공부법을 사용해봐야겠습니다ㅋㅋ 감사합니다

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  8. 수학 공부 관련된 글 중 드물게 구체적인 글이네요. 중요한 건 어떤 책을 몇 번 공부했느냐보단 지적하신 것처럼 '이해와 추론'같은 방식을 사용했느냐 아니면 '암기'와 같은 원리에 입각해서 공부했느냐가 핵심인데 말입니다.

    잘 읽고 갑니다.

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  9. 저랑 상황이 비슷하네요.
    전 93학번 학력고사 마지막 세대 입니다. ^^
    저도 암기과목은 평균 이하였는데
    수학만큼은 항상 만점 이었습니다.

    저의 비법도 간단했습니다.
    삼각 함수 등 기초 공식을 만드는 해법을 직접 풀어보는겁니다.
    그걸 바탕으로 생각이 안나는 공식을 역으로 만들어 가는거죠.

    또한 고 2때 수1, 수2 정석을 해설집 없이 풀었습니다.

    수학이 앞을 못하면 뒤는 더 이상 기대를 할 수 없으므로
    문제가 풀릴때 까지 잠안자고 풀었죠.
    어떤 문제는 일주일 넘게 고민한 문제도 있었던것으로 기억하네요.
    그런 고집과 문제를 풀었을 때의 희열을 못잊어
    지금도 프로그래머로 먹고 살고 있습니다.

    수학의 비법은 위와 같지만
    프로그래머는 논리적이지 않으면 끝입니다.
    논술과 논리는 틀린거죠.

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    1. 저랑 생각이 같이 해주시는 분들이 많이 다행입니다 ^_^

      수학 = 산수.. 처럼 이해되는 현실이 좀 안타까웠거든요.. 수학 = 논리 여야 하는데요~

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  10. 유투브통해서도 잘보고 있어요.
    도움이 많이 됩니다. 고맙습니다~~~

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    1. 도움이 된다니 다행입니다. 자주 들려주시고 댓글도 종종 남겨주세요~

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  11. 예전엔 수학을 풀때 왠만해선 다 처음부터 도출해내서 풀어야 직성이 풀렸는데, 그렇게 하다보면 문제 푸는 속도가 너무 느려져서 문제가 생기더라구요.
    그래서 요즘은 몇몇 공식을 외워보고 있긴 한데 이 글을 읽고 나니 그냥 예전처럼 다시 도출하는식으로 하는게 좋았으려나, 고민이 되네요.
    혹시 포프님은 공식을 외우지 않았을때 문제푸는 속도가 느린것을 어떻게 해결하셨을지 궁금합니다.
    + 이렇게 좋은 글 , 동영상들을 업로드해주시는 것에 대해 매우 감사하고 있습니다!

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    1. 뭐 도출해서 쓰다보면 저절로 외워지는것도 있어요.. 그러는건 그냥 사용해도 문제는 아니라고 봅니다. 저 개인적으로는 도출속도가 느려서 문제가 되진 않았어요 풀고 검토할 정도까지 시간은 충분했거든요. 제가 도출속도가 빨랐을수도 있고... 아니면 말씀하신대로 몇몇 공식이 저절로 외워져서 편하게 한걸수도 있습니다.

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  12. 올해 14학번으로 대학교에 들어가는 95년생입니다.

    예전부터 게임 업계에 종사하고 생각은 했지만 결정하게 된 것은 고3때, 즉 올해, 4월달입니다.

    하지만 중학교때까지는 수학을 풀 수는 있었는데 고등학교에 진학한 후에는 수학을 푸는게 너무 어려워졌고 결국 흔히 말하는 수포자가 되버렸습니다.

    그런 상황에서 게임업계에 종사하고 싶다는 생각은 점점 더 커져갔고, 수학을 다시 해야된다는 생각은 하면서도 정말 어디서부터 해야할지도 모르는 그 상황 때문에 어쩔줄 몰랐습니다.

    하지만 그래도 내신이 어떻게 어떻게 되서 모 전문대학의 소프트웨어과에 합격은 했습니다만

    당장 내년부터 수학을 기초로 하는 분야를 공부해야 하는데 너무 막막하네요...

    어디서부터 시작해야할까요...

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    1. 왜 저에게 물어보실까요... 이미 어디서부터 수학을 못했는지 알고.. 그럼 어디서부터 시작해야 하실지도 아실텐데...

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  13. 오. 저랑 성향은 비슷하시군요. (성향만.. 전국 몇%. 이런 것 말고..)
    저도 수학은 가장 기본만 외우고 나머진 추론으로..
    하지만 문제 유형을 통채로 외운 애들이 비해 풀이 시간이 매우 많이 걸렸죠.
    역시 성적은.. 통채로 외우고 학원에서 가르쳐 준 유형도 외우고.. 외운 애들을 따라갈 수 없더라구요.
    다행이 전 97학번이라 수학 점수만으로 특차에 골인을..

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    1. 특히 삼각함수는 저도 늘 그래프와 삼각형 그림에서 출발합니다. ㅋㅋ
      중학교 때부터 그래왔고 그정도만 해도 수학 성적은 충분했기에 공부를 너무 게을리 해서 오히려 고2 때는 좀 떨어지기도 했죠.

      그런데 공부도 전국 단위의 탑의 실력이셨다니 정말 굉장하시네요.

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    2. 전 하나만 파는걸 잘했어요 -_-a 영어는 드럽게 못해서 끝까지 고생했죠 ㅋㅋㅋㅋ 근데 전 수학하나만은 학교에서 1등이었기에... 음.. 공식 외우는 애들보다 느리진 않았던거 같구요... 오히려 학교에서 전체 성적 1~2위 하던 애들이 수학만큼은 저에게 물으러 왔었거든요.... 제가 도출 능력이 드럽게 빨랐던 걸까요 '_'

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    3. 과연 대단하십니다. 진짜 빠르셨던 모양이시군요.
      외워서 하는 아이들은 거의 O(1) 타임에 풀고 넘어가던데.
      물론 그런 애들은 문제 형식이 약간 변형되면 못 풀지만 왠만한 형식은 거의 다 알더라구요. 과외와 학원의 효과랄까..
      그런데 그런 애들만큼 빠르게 도출하신다니.. 대단하십니다.

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    4. 아니면 저희땐 수학 본고사까지 있어서... 학교에서 암기한 공식으로는 절대 못푸는 문제가 많이 나왔기 때문일수도 있어요 -_-a 도출하는 습관이 없는애들은 지네가 모르는 공식이 나오면 더 느리다고 생각....

      뭐든간에 전 암기력이 약하므로.. 그친구들처럼 할수 없었기에 찾아낸 방식입니다 ㅎㅎㅎㅎ

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  14. 덧글 잘 달지 않는데 정말 큰 도움이 되어 덧글 남겨 봅니다. 중학생때 공부하다가 고 1,2를 포기하고 놀며 그저 그렇게 흘려 보내고
    이제 곧 고3이 되는 시점에서 수학이 나오질 않아 답답한 이과생입니다.
    선행을 하지도 않았고, 학교 수업 시간에 들은 것도 없으니 점수가 나올 리가 없었죠.
    겨울방학때 수학을 제대로 한번 해보자. 해도 막상 어떻게 시작해야 할지 감이 잡히질 않았는데 정말 많이 배우고 갑니다. 언외 과탐에 투자하는 시간을 제외하고 하루 여섯시간정도씩 수학만 공부한다면 일 년 안에 적통까지 완벽하게 다질 수 있을까요?

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    1. 헐.. 하루 6시간 1년이면... 거의 2천시간인데.. 된다고 전 생각합니다... 근데 그게 6시간이 집중이 안될텐데요 -_-

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  15. 감사합니다. 정말로 잘 보고 갑니다 !

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  16. 님 전 영어 독해가.. 잘 안되어서요
    님은 영어공부 특히 독해.. 어떻게 하셨는지
    꼭 좀 알려주세요

    님처럼 영어도 잘하고 수학도 잘하시는분이 진짜 부럽습니다

    영어독해 어떤 교재로 어떻게 공부했는지 꼭좀 알려주세요

    감사합니다.

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  17. 영어독해 - 어떤 교재로 어떻게 공부했는지 꼭이요 ~~ 감사합니다.

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    1. 한국살때는 영어는 담쌓고 살아서 아주 형편없었습니다. 교재같은것도 없구요..

      독해능력은 나중에 돈 벌려고 번역하면서 늘었습니다.

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  18. 교재 없이... 번역하면서요? 헉... 혹시 성문종합이라도 보시지 않으셨는지 궁금합니다
    님께서 가장 많이 애용하신 독해? 문법? 책이 뭔지 궁금합니다.

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    1. 성문종합은 당연히 고등학교인가 다닐때 봤지요.. 여전히 영어성적이 형편없던게 문제지.. 그런 교과서 없어요. 어떤 교과서 봐도 독해능력 안늡니다.

      그냥 영어로된 소설책 사전없이 보는게 젤 납니다. (그거에 대해서 포프TV에 올려놓은것도 있어요.)

      애용했다고 할 수 있는 책 자체가 없어요 워낙 영어를 싫어했어서.. 대학교땐 영어선생이 발표시키면 싫다고 하고 강의실 나갈 정도였으니까요.

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  19. 유익한 영상 즐겨보고 있습니다. 겜프로그래밍과정 배우기 시작했는데 도움이 되는 글 같네요.

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  20. 일반수학의정석 (상,하) 1 + 해법수학(상,하)1 -------성문종합영어 1980년도 판 책이 유익하죠 ?

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  21. 잘 보고 갑니다. 제가 중2인데 수학을 아무리 해도 안되고 성적이 낮아서....... 이 방법으로 한번 해보겠습니다. 감사합니다.

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  22. 매우 효율적이며, 실제로 수학공부는 이렇게 해야 한다고 생각합니다(수학교육의 목적에도 부합한다고 생각해요).
    그런데 수학과외를 많이 해본 결과. 이러한 방식으로 누구나 100점으로 끌어 올릴순 없습니다. 얘기하신대로 먼저 문제를 다 풀고 이해하고 다시풀고 이러한 과정은 많은 사람들에겐 매우.매우 오래걸립니다. 초등학교 혹은 중학교 때부터 단련을 한다면 고등학교때 가능할수도 있겠습니다만. 작성자 분처럼 고2때 갑자기 가능한 일은 아닙니다. 이미 가지고 있는 논리,추론 능력이 뛰어났기 때문에 가능했던 것이라고 생각합니다.
    따라하고 싶으신 분들은 자신의 위치를 정확히 파악하고 난이도를 잘 조절하여 이 글의 방법을 적용하세요. 수학뿐만이 아니라 다른 과목 성적도 오를 수 있는 좋은 학습법입니다.

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  23. 현직 수학 강사이자 프로그래머로, 우연히 유투브 영상을 보고 들어왔네요ㅎㅎㅎ 제가 공부할때도, 그리고 제가 학생들 가르치던 방법(오답만 반복)과 같은걸 보니 왠지모르게 뿌듯? 하네요ㅎㅎㅎ 그런데 몇가지 첨언을 하자면, 요즘 수학 시험의 경우에는 포프님께서 치른 학력고사/본고사 시대와 많이 다르죠. 특히 수학과 같은 경우에는 속도 싸움입니다. 주 공식으로 나머지 공식을 추론하는 방식이 프로그래머가 되기 위한 논리력을 기르는데는 도움이 되겠지만, 실질적인 수학성적을 올리는데는 좋은 방법이 아니라는거죠. 수학은 결국 암기력 싸움입니다. 얼마나 공식을 많이 외웠느냐를 가지고 문제에 접근할 필요가 있는거죠. 일례로 이차곡선에서 이차곡선 외부에서 그 이차곡선에 그은 두 접선이 서로 수직할 조건에 관한 경우, 기본 공식을 가지고 풀면 4차방정식이 나와서 해결 자체가 불가능합니다. 거기에 확장 공식을 유도해내면 비로소 2차방정식의 판별식을 통해 두 접선과 그 기울기로 수직조건을 찾아낼 수 있죠. 그런데 이걸 한줄로 요약한 공식이 있습니다. 그 공식을 알면, 이 문제는 15초 짜리 문제지만, 모르는 사람에게는 10분이 걸려도 못풀거나 3분 이상이 걸리게 되죠. 아무튼 수학공부를 할 때 포프님의 방법이 정석이고, 실제로 수학을 통해 요구하는 능력을 기르게 하는데 큰 도움이 되는 것은 사실이지만, 사실 공식은 유도 방법을 익힌다음에 암기하는겁니다. 구구단을 곱하는 방식만 익히고 암기안하는거는 아니잖아요? 아무튼 모든 프로그래머분들 화이팅입니다!

    덧으로, 프로그래머와 수학이야기에서 단순히 로직과 논리성만 따져서 조금 아쉬운 점이 있네요ㅎㅎㅎ 저 같은 경우는 이산수학과 확률통계에서 얻은 지식을 프로그래밍에서 써먹고 있거든요. 단순히 편하다고 ArrayList를 남발한다든가, 그래프 구성이 편하다고 트리대신 그래프를 쓴다든가 하는 경우, 그 외에도 통계학적으로 Big O 와 Theta O 의 이해 없이 프로그래밍을 한다든가 하는 걸 아주 작은 프로젝트부터 지양하는 방식으로 하거든요. 이런 작은 점에 대한 지적이 없어서 조금 아쉽네요ㅎㅎㅎ 논리력과 더불어서 실제적으로 프로그래밍에서 수학이 어떻게 쓰이는지에 대한 말씀이 덧붙여졌다면, 좀 더 좋지 않을까 하고 생각합니다...ㅎㅎㅎ (실제로 미분방정식은 사람의 걸음을 수학적으로 변환할 때에 적용됩니다. 쿼터니안 허수는 삼차원 좌표계에서 구면의 회전에서 이용되지요)

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  24. 안녕하세요 포프님 얼마전에 포프님동영상을본뒤로 구독하는 애청자입니다..
    지금 나이는 19살이고 학교는 적성이아니라는생각에 그만두었지만 후회하게되더군요..
    전 수학을 진짜 못합니다...ㅋㅋ 영어도마찬가지죠..
    제기억으론 중학교 3학년때 수학이 32 점 영어가 16점이였습니다.. 그것도 찍어서 그정도였어요.ㅎㅎ
    기말고사때 풀어봣더니 16점 8점으로 딱 반절나더군요..

    제가 논리가 부족한건지 암기력이 부족한건진 솔직히잘모르겠습니다.. 어쩌면 둘다 부족할수도있지요
    포프님이말하는 싸인 코싸인 그런게 뭔지도 모릅니다.. 미분 적분도 이름만알뿐 제대로 알지도못해요
    어릴땐 공부를 되게 잘했던기억이납니다.. 초등학교 졸업직전까진 수학도 꽤했습니다..
    방정식이란놈이 나오기전까지는요.. 그놈이나온뒤부턴 100점 90점맞던놈이 70점대로 뚝떨어지고
    점점 공부가 어려워지다보니 쉽게 포기하게되더군요.. 중학교끝날때쯤엔 이미 공부를 포기하다싶이 했습니다..
    중학교 1학년때 처음으로 프로그래밍이란것을 접했어요
    비주얼베이직으로 처음만져본 프로그래밍은 정말 재밌더군요 ㅋㅋ
    매일같이 시간가는줄모르고 세벽까지하다가 한두번혼난게아닙니다..ㅋㅋㅋㅋ
    고구마s 라는사이트에서 매일 찾아보며 프로그램을짜고 하면서 센드메일 프리게임 접속기같은 자잘한 프로그램을만들어서 가끔악용하기도하고 했어요.. 철이없었죠.ㅋㅋ 물론 지금도없지만..

    그러던중에 잠시 손놓고있다가 게임을 만들어보고싶었습니다.
    평소에 저도안하던게임을요.. 그때부터 혼자 꿈을키웟어요.. 정말 누구나하고싶을만큼 자유도있고
    누구나 한다 하면 할수있는 그런세계를 만들고싶다는생각을했습니다..
    그래서 국비지원으로 학원을다녔죠.. 그게 17살때입니다.

    처음 C배울땐 정말열심히했어요 모르는건 계속해보고 더해보고 더해보고 하면서 될때까지했습니다.
    C 후반쯤에 간단한 도스게임을 만드는게있었어요..
    좀전에 책을찾아봣지만 어디서부터 막혔는지 잘모르겠군요..
    포인터 뒷부분부터 갑자기 막히기 시작했어요..
    제가 모르고 배우기힘든부분을 보니 턱하니막히더군요.. 그렇게 막히다보니 어느세 수업진도를 따라가지못해서 포기하게되었습니다..
    C++은 말할것도없이 거의 기억도안나요..ㅎ

    그뒤에 책을구매하며 안드로이드 어플만들기 라는 책을 발견했죠..ㅎㅎ
    그걸 보면서 됭장히 간단하게 만들어보기시작했어요
    몇일걸려서 만들기도하고 그러면서 다시 차츰 재미를붙였죠..
    그렇게
    다시 혼자서라도 시작하려고 하고있는대 게으름이 절잡더군요.. 그러던중 어떠한계기로 맥스를 만져볼기회를 얻었습니다.. 프로그래밍처럼 다작성한뒤 볼수있는것이아닌 만드는순간순간 볼수있다는게 매력으로다가왔죠.. 맥스를 하다가 어느순간 문뜩 생각났습니다.. 제가만들었던 어플이요..ㅎㅎ
    그리고 쉬자는 의미로 게임을 접했죠.. 근대 부족한부분이 너무 많이보이는겁니다..
    내가 이정도를 할줄알면 이것보다 더욱 재미있는게임을 만들고싶다 라는생각에 지금 덧글을답니다..

    정말 게임프로그래밍을 하고싶습니다.
    언리얼엔진 4를보고 그곳을바라보며 공부를하려합니다.

    근대 포프님 영상중에 수학을못하면 프로그래밍을 할수없다 논리가 부족하다면 포기해라 암기력이부족하다면 가능하다 라는말이 있더군요..

    제가 쭉 쓴 글을보시며 논리력이 부족한지 알수있으실정도로 부족하다면 말씀해주십시요..

    저는 이렇게해서 이렇게하면 이렇게되겠지? 라는 생각으로 작성을합니다.
    도저히 이렇게하면 이렇게되서 이렇게되는군 이 안되더군요..
    부정적인생각일지몰라도 이생각을 떨칠수없습니다..
    그래도 프로그래밍은 하고싶군요..ㅋㅋ

    포프님에게
    이런저라도 수학공부를 하면 어떻게해서라도 해보면 프로그래머가 될수있을까요?
    라는 질문을 드리고 싶습니다.

    지금부터라도 해보면 가능할까요?
    중3때 C 와 C++을 땟다는걸보고 이미늦은걸까 하고있습니다..
    솔직히 됭장히 멍청해보이지요?.. 저도 모르는걸 남에게 물어본다는게 부끄럽다는생각이드네요..

    이만 글을마치고 마지막으로 질문하나만 드리겠습니다..귀찮으시다면 어쩔수없지만 이글을보신다면
    보고 시간이남으신다면.. 답변좀부탁드리겠습니다.ㅎㅎ

    지금이라도 제가 노력하면 적어도 남에게 뒤쳐지지않는 그런 프로그래밍을 할수있을까요?
    제가 늦지않은걸까요?..

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    1. 아이고.. 1년도 더 지난 댓글이네요.. 19살이시군요..
      젊은 패기로도 안 되는 게 있는 걸 세삼 느끼게 되는 때가 오던데, 전 적어도 그게 게임 프로그래밍에도 속한다고 생각하진 않습니다.. 대신 답변 남깁니다.

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  25. 내공 공유 정말 감사해요!

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  26. 문과수학이 그렇게 어려웠나요 읽어보니 이과수학 뺨치네요 요즘 수학이 쉬워지긴 하지만 수능 이후로 이과수학에 비해 문과수학은 그냥 국어책 읽는 수준이라서 본고사 시절과는 비교가 불가능할듯.....

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  27. 고3 현재. 늦은 감이 없잖아 있네요

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  28. 대학생인대
    고등학교때부터 일종의 수포자였습니다 수식외우는것도 싫었고 그때는 저의 마음의 안식처였던 기계설계가있었기 때문에
    근대 대학공부 시작하려고보니 설계하면서 설렁설렁 공부하던 수학이 공업수학과 역학 분야로 나뉘면서 고생길이 훤해졌습니다
    그런대 이글대로 따라는 안해도 저만의 방식을 찾아야되겠습니다 ㅎㅎ 좋은글감사합니다
    일단,, 산업기사에 중심적으로 나오는것만 공부를해야되겠군요

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  29. 문과에 지잡대.. 이름도 듣도 보지못한 관광경영학과 나와서 전공 포기하고 그저 게임이 좋아서
    프로그램을 아카데미에서 배우고 혼자 구글링해서 독학하고 혼자 게임을 만들고 있었습니다.
    그러면서 항상 마음에 걸리는게 수학이라놈 (유니티가 다 도와주지만 마음에 항상 찝찝..ㅠ)
    .. ㅠ 수능 수학 15점이었나? 아무튼 수학이랑은 담을 쌓던중 김포프 선생님이 번역?쓰신? 게임 개발자를 위한 물리책 목차를 보면서 엄청나게 흥분을 해서 바로
    샀습니다. 나도 이것만 이해하면 드리프트하는 차를 만들수있나? 파도에 울렁거리는 배를 만들수있고 하늘에 비행기를 띄울수 있나?
    하지만 흥분도 잠시 책을 넘기는 순간 좌절이었습니다. 적분, 미적분 듣도 보도 못한 저세상 사람들의 이야기 였습니다.
    그 다음날 삼수한 여자친구한테 수학의 정석을 받아서 겨우 겨우 적분 미적분 파트까지 이해하고 다시 게임물리책을 보니 이제 한줄
    한줄 보이기 시작하더라고요. 그걸 보고 아 나 같은 사람도 수학을 할수 있는거구나 싶었죠. 요즘 수학공부를 다시 손놓고 있었는데
    이글을 보니 다시 공부해야겠 단 마음이듭니다!(요즘 포프선생님의 셰이더 책 보느냐ㅎㅎ 꿀잼) 항상 도움되는 글 감사합니다. 유튜브도 잘보고있어요!

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  30. 너무 멋지시네요... 좋은 공부방법 잘 보았습니다.

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  31. 이해가 안되는게 있는데.. 맨처음 문제집을 사서 할때,그냥 본문 보지 말고 몰라도 한번 다푸는건가요?[한번도 배우지 않은것]아니면 배운 것을 하는건가요?

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    1. 중학교1학년입니다.
      정보보완전문가를 목표로 두고 있습니다.

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  32. 게으른건 어떻게 못할까요
    지금 저의 가장 큰 고민인데..

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